Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=3an-1，n∈N*

Answer 1

解题思路：（I）由已知2Sn=3an-1，得出2Sn-1=3an-1-1，（n≥2），两式相减，并移向整理得出an=3an-1，可以判定数列{an}是等比数列，求出a1后，可求出通项公式；（II）根据数列{nan}的特点可知利用错位相消法进求和．

（I）∵2S_n=3a_n-1①

∴2S_n-1=3a_n-1-1，（n≥2）②

①-②得2S_n-2S_n-1=3a_n-3a_n-1=2a_n，

即a_n=3a_n-1，

又n=1时，2S₁=3a₁-1=2a₁∴a₁=1

∴{a_n}是以a₁=1为首项，以q=3为公比的等比数列．

∴a_n=a₁q^n-1=3^n-1

（II）T_n=1•3⁰+2•3¹+3•3²+…+n•3^n-1，

3T_n=1•3¹+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，

两式相减得

-2T_n=1+3¹+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ=

1−3n

1−3-n•3ⁿ，

∴T_n=

(2n−1)3n

4+

1

4

∴数列{na_n}的前n项和为

(2n−1)3n

4+

1

4

点评：

本题考点： 数列的求和；等比数列的通项公式．

考点点评： 本题主要考查了等比数列的通项公式，以及利用错位相消法求和，同时考查了计算能力，属于中档题．