Question

已知数列{an}的前n项和为Sn（ n∈N*），且Sn＝32an−1．

Answer 1

解题思路：（1）当n=1时，a₁=S₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，再利用等比数列的通项公式即可得出．

（2）利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．

（1）当n=1时，a1＝S1＝

3

2a1−1，解得a₁=2．

当n≥2时，Sn＝

3

2an−1，Sn−1＝

3

2Sn−1−1，

∴a_n=S_n-S_n-1=[3/2an−

3

2an−1，∴a_n=3a_n-1（n≥2）．

∴数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列，

∴an＝2×3n−1．

（2）∵b_n=na_n，∴b_n=2n•3^n-1．

∴Tn＝2(1×30+2×31+2×32+…+n•3n−1)，

3Tn＝2[1×3+2×32+…+(n−1)•3n−1+n•3n]，

∴-2Tn=2（1+3¹+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ）=2[

3n−1

3−1−n•3n]=（1-2n）•3ⁿ-1，

∴T_n=(n−

1

2)•3n+

1

2]．

点评：

本题考点： 数列的求和；数列的函数特性．

考点点评： 本题考查了“n=1时，a1=S1．当n≥2时，an=Sn-Sn-1”、“错位相减法”和等比数列的通项公式、前n项和公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．