Question

求f(x)并求上述全微分方程的通解

Answer 1

∵令x=e^t,则t=lnx

∴dt/dx=1/x

∵f'(x)=df(x)/dx=[df(x)/dt][dt/dx]=(1/x)[df(x)/dt]=f'/x (f'表示df/dt)

∴xf'(x)=f'.(1)

∵f''(x)=d(f'/x)/dx=(1/x)(df'/dt)(dt/dx)+f'(1/x)'=(df'/dt)/x²-f'/x²=(f''-f')/x² (f''表示d²f/dt²)

∴x²f''(x)=f''-f'.(2)

故把(1)和(2)代入x²f''(x)+2xf'(x)-2f(x)+3x³=0,得f''+f'-2f=-3e^(3t).