Question

（1）如果x（1-x）4+x2（1+2x）k+x3（1+3x）12展开式中x4的系数是144，求正整数k的值；

Answer 1

解题思路：（1）求出各式的展开式中x⁴的系数依次为-4，C_k²•2²，C₁₂¹•3，据题应有-4+4C_k²+36=144，解方程求的k值．

（2）

(

1

x

+x−1)

5

＝

(x+

1

x

)

5

−5

(x+

1

x

)

4

+10

(x+

1

x

)

3

−10

(x+

1

x

)

2

+5(x+

1

x

)−1

，考查各个式子的通项，

求出各部分含x的项，求和即得结果．

（1）x（1-x）⁴，x²（1+2x）^k，x³（1+3x）¹²的展开式中x⁴的系数依次为-4，C_k²•2²，C₁₂¹•3，

据题应有-4+4C_k²+36=144，解得k=8．

（2）(

1

x+x−1)5＝(x+

1

x)5−5(x+

1

x)4+10(x+

1

x)3−10(x+

1

x)2+5(x+

1

x)−1，

分别计算各项中x项的系数，(x+

1

x)5中通项Tr+1＝

Cr5x5−r•(

1

x)r＝

Cr5•x5−2r，

r=2时得x项为T₃=C₅²•x=10x； (x+

1

x)3中通项为T_r+1=C₃^rx^3-2r，r=1时得x项为 T₂=C₃¹x=3x，

x+

1

x中x项即为x；在(x+

1

x)4，(x+

1

x)2展开式中不含x项，故所求含x的项为10x+10•3x+5x=45x．

点评：

本题考点： 二项式系数的性质．

考点点评： 本题考查二项式系数的性质，二项式的展开式的通项公式，求出所有含x的项是解题的关键．