Question

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=3a，BC=2a，D是BC的中点，F是C1C上一点，且CF=2a．

Answer 1

解题思路：（1）证明直线与平面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直，通过证明AD⊥平面BCC₁B₁得AD⊥B₁F，然后在矩形BCC₁B₁中通过证明Rt△DCF≌Rt△FC₁B₁得B₁F⊥FD，问题从而得证．

（2）利用等体积法，将要求的三棱锥D-AB₁F的体积转化为高和底面都已知的三棱锥A-B^₁DF体积来求．

（3）本问是个探究性问题，通过线段的长度关系和平行关系探讨线面平行．

（1）

证明：∵AB=AC，D为BC中点∴AD⊥BC，

又直三棱柱中：BB₁⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，

∴AD⊥BB₁，

∴AD⊥平面BCC₁B₁，

∵B₁F⊂平面BCC₁B₁

∴AD⊥B₁F．

在矩形BCC₁B₁中：C₁F=CD=a，CF=C₁B₁=2a

∴Rt△DCF≌Rt△FC₁B₁，

∴∠CFD=∠C₁B₁F

∴∠B₁FD=90°，即B₁F⊥FD，

∵AD∩FD=D，

∴B₁F⊥平面AFD；

（2）∵AD⊥平面BCC₁B₁

∴VD−AB1F＝VA−B1DF＝

1

3•S△B1DF•AD

=

1

3×

1

2B1F•FD×AD＝

5

2a3

3；

（3）当AE=2a时，BE∥平面ADF．

证明：连EF，EC，设EC∩AF=M，连DM，

∵AE=CF=2a

∴AEFC为矩形，

∴M为EC中点，

∵D为BC中点，

∴MD∥BE，

∵MD⊂平面ADF，BE⊄平面ADF

∴BE∥平面ADF．

点评：

本题考点： 直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是个中档题．