十几乘任意数的简便算法?

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  • .特殊数题

    (1)21-12

    当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时,其差为被减数与减数十位数字的差乘以9.

    因为这样的两位数减法,最低起点是21-12,差为9,即(2-1)×9.减数增加1,其差也就相应地增加了一个9,故31-13=(3-1)×9=18.减数从12—89,都可类推.

    被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍……,常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数,其差不变.如

    210-120=(2-1)×90=90,

    0.65-0.56=(6-5)×0.09=0.09.

    (2)31×51

    个位数字都是1,十位数字的和小于10的两位数相乘,其积的前两位是十位数字的积,后两位是十位数字的和同1连在一起的数.

    若十位数字的和满10,进1.如

    证明:(10a+1)(10b+1)

    =100ab+10a+10b+1

    =100ab+10(a+b)+1

    (3)26×86 42×62

    个位数字相同,十位数字和是10的两位数相乘,十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数,后两位是个位数的积.若个位数的积是一位数,前面补0.

    证明:(10a+c)(10b+c)

    =100ab+10c(a+b)+cc

    =100(ab+c)+cc (a+b=10).

    (4)17×19

    十几乘以十几,任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10,加个位数的积.

    原式=(17+9)×10+7×9=323

    证明:(10+a)(10+b)

    =100+10a+10b+ab

    =[(10+a)+b]×10+ab.

    (5)63×69

    十位数字相同,个位数字不同的两位数相乘,用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字,再乘以10,加个位数的积.

    原式=(63+9)×6×10+3×9

    =72×60+27=4347.

    证明:(10a+c)(10a+d)

    =100aa+10ac+10ad+cd

    =10a[(10a+c)+d]+cd.

    (6)83×87

    十位数字相同,个位数字的和为10,用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数,后两位是个位数的积.如

    证明:(10a+c)(10a+d)

    =100aa+10a(c+d)+cd

    =100a(a+1)+cd(c+d=10).

    (7)38×22

    十位数字的差是1,个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘,积为被乘数的十位数与个位数的平方差.

    原式=(30+8)×(30-8)

    =302-82=836.

    (8)88×37

    被乘数首尾相同,乘数首尾的和是10的两位数相乘,乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字,是积的前两位数,后两位是个位数的积.

    (9)36×15

    乘数是15的两位数相乘.

    被乘数是偶数时,积为被乘数与其一半的和乘以10;是奇数时,积为被乘数加上它本身减去1后的一半,和的后面添个5.

    =54×10=540.

    55×15

    (10)125×101

    三位数乘以101,积为被乘数与它的百位数字的和,接写它的后两位数.125+1=126.

    原式=12625.

    再如348×101,因为348+3=351,

    原式=35148.

    (11)84×49

    一个数乘以49,把这个数乘以100,除以2,再减去这个数.

    原式=8400÷2-84

    =4200-84=4116.

    (12)85×99

    两位数乘以9、99、999、….在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数.

    原式=8500-85=8415

    不难看出这类题的积:

    最高位上的两位数(或一位数),是被乘数与1的差;

    最低位上的两位数,是100与被乘数的差;

    中间数字是9,其个数是乘数中9的个数与2的差.

    证明:设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a≠0),则

    如果被乘数的个位数是1,例如

    31×999

    在999前面添30为30999,再减去30,结果为30969.

    71×9999=709999-70=709929.

    这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a+1)的形式,由9组成的自然数可表示为(10n-1)的形式,其积为

    (10a+1)(10n-1)=10n+1a+(10n-1)-10a.

    (13)1÷19

    这是一道颇为繁复的计算题.

    原式=0.052631578947368421.

    根据“如果被除数不变,除数扩大(或缩小)若干倍,商反而缩小(或扩大)相同倍”和“商不变”性质,可很方便算出结果.

    原式转化为0.1÷1.9,把1.9看作2,计算程序:

    (1)先用0.1÷2=0.05.

    (2)把商向右移动一位,写到被除数里,继续除