Question

AD是三角形ABC的中线,三角形ABD、ADC的外心分别为E、F直线BE、CF交于点E,DG=1/2BC,求证角ADG=

Answer 1

没图,抱歉,忍着读吧：

∵D为BC中点,且DG=1/2BC,∴BD=GD=CD,易知∠BGC＝90°

∵E、F为△ABD、△ADC的外心,联结EA、ED、FA、FD、EF,

若⊙E为△ABD外接圆,⊙F为△ADC外接圆,

所以AD为⊙E、⊙F公共弦,EF为连心线,∴EF垂直平分AD,易知△AEF与△DEF全等

∵F为△ADC的外心,∴AF=FC,∠ACG=∠FAC=1/2∠AFG

本题即证：∠AFG=∠ADG,即AGFD四点共圆

证：∵∠GBD+∠GCB=90°,且E、F为△ABD、△ADC的外心,

∴EB=ED,FD=FC,∴∠EDB=∠EBD,∠FCD=∠FDC

∴∠EDB+∠FDC=90°=∠EDF,∵△AEF与△DEF全等,∴∠EAF=∠EDF=90°

∴可知AEFD、EDFG四点共圆,∴AGFDE五点共圆,∴AGFD四点共圆

证毕~