Question

已知函数f（x）= 4x-a 1+ x 2 在区间[m，n]上为增函数，

Answer 1

（I）若m=0，n=1，由已知函数f（x）=

4x-a

1+ x 2 在区间[0，1]上为增函数，

可得 f′（x）=

4(1 +x 2 )-2x(4x-a)

(1 +x 2 ) 2 =

-2(2 x 2 -ax-2)

(1 +x 2 ) 2 在区间[0，1]上恒正，

故有

f′(0)≥0

f′(1)≥0 ，解得a≥0，故实数a的取值范围为[0，+∞）．

（Ⅱ）（i）因为f（n）-f（m）=f（n）+[-f（m）]≥2

f(n)[-f(m)] =2

4 =4，当且仅当f（n）=-f（m）=2时等号成立．

由f（n）=

4n-a

1 +n 2 ，有-a=2（n-1） ²≥0，得a≤0； 由f（m）=

4m-a

1 +m 2 ，有a=2（m+1） ²≥0，得a≥0；（10分）

故f（n）-f（m）取得最小值时，a=0，n=1．

（ii）此时，f′（x ₀）=

4(1 -x 0 2 )

(1 +x 0 2 ) 2 ，

f (x 2 )-f (x 1 )

x 2 -x 1 =

4(1 -x 1 •x 2 )

(1 +x 1 2 )(1 +x 2 2 ) ，

由f′（x ₀）=

f (x 2 )-f (x 1 )

x 2 -x 1 ，可得

(1 -x 0 2 )

(1 +x 0 2 ) 2 =

1 -x 1 •x 2

(1 +x 1 2 )(1 +x 2 2 ) ．

欲证x ₁＜x ₀＜x ₂，先比较

(1 -x 0 2 )

(1 +x 0 2 ) 2 与

(1 -x 1 2 )

(1 +x 1 2 ) 2 的大小．

由于

(1 -x 0 2 )

(1 +x 0 2 ) 2 -

(1 -x 1 2 )

(1 +x 1 2 ) 2 =

1 -x 1 •x 2

(1 +x 1 2 )(1 +x 2 2 ) -

(1 -x 1 2 )

(1 +x 1 2 ) 2 =

( x 1 -x 2 )( 2x 1 +x 2 -x 1 2 •x 2 )

(1 +x 1 2 )(1 +x 2 2 ) =

( x 1 -x 2 )[ x 1 (2 -x 1 •x 2 ) x 2 ]

(1 +x 1 2 )(1 +x 2 2 ) ．

因为0＜x ₁＜x ₂＜1，所以0＜x ₁x ₂＜1，有x ₁（2-x ₁x ₂）+x ₂＞0，

于是（x ₁-x ₂）[x ₁（2-x ₁x ₂）+x ₂]＜0，即

(1 -x 0 2 )

(1 +x 0 2 ) 2 -

(1 -x 1 2 )

(1 +x 1 2 ) 2 ＜0．

另一方面，

(1 -x 0 2 )

(1 +x 0 2 ) 2 -

(1 -x 1 2 )

(1 +x 1 2 ) 2 =

(x 1 2 -x 0 2 )[ 3 +x 1 2 +x 0 2 -x 1 2 •x 0 2 ]

(1 +x 0 2 )(1 +x 1 2 ) ，

因为0＜x ₁ ²x ₀ ²＜1，所以3+x ₁ ²+x ₀ ²-x ₁ ²x ₀ ²＞0，从而x ₁ ²-x ₀ ²＜0，即x ₁＜|x ₀|．

同理可证x ₀＜x ₂，因此x ₁＜|x ₀|＜x ₂．