Question

设A=（aij）n×n，n＞1，已知矩阵A的秩为1，且a11+a22+…+ann=1，

Answer 1

解题思路：（1）根据特征值之和等于矩阵的迹，再由r（A）=1，得到矩阵A的特征值；（2）只需证明，A有n个线性无关的特征向量即可；（3）由（2）找到与A相似的对角阵，求出A¹⁰-A．

（1）设A的特征值为λ₁、λ₂、…、λ_n，由于r（A）=1，必有

λ₁=t≠0，λ₂=λ₃=…=λ_n=0

又由于λ₁+λ₂+…+λ_n=a₁₁+a₂₂+…+a_nn=1

∴λ₁=1，λ₂=λ₃=…=λ_n=0

（2）由（1）知，A的特征值只有1（1重）和0（n-1重）

而r（A）=1，因此-Ax=0的基础解系含有n-r（-A）=n-r（A）=n-1个解向量

即特征值0的特征向量有n-1重

又不同特征值的特征向量是线性无关的

∴A有n个线性无关的特征向量

∴A可以相似于对角矩阵∧＝

10…0

00…0

⋮⋮⋮⋮

00…0

（3）由（2）知，存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=∧

∴A¹⁰=P∧¹⁰P^-1

∴A¹⁰-A=P（∧¹⁰-∧）P^-1=POP^-1=O

点评：

本题考点： 矩阵可相似对角化的充分必要条件；矩阵的特征值和特征向量的求解．

考点点评： 此题考查特征值的性质、矩阵对角化的充要条件和方阵幂运算的求解，都是基础知识点．