Question

已知函数f（x）=（ax 2 +x）e x 在[-1，1]上是单调增函数，其中e是自然对数的底数，求a的取值范围．

Answer 1

由f（x）=（ax ²+x）e ^x，得

f′（x）=（2ax+1）e ^x+（ax ²+x）e ^x=[ax ²+（2a+1）x+1]e ^x，

①当a=0时，f′（x）=（x+1）e ^x，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，

当且仅当x=-1时取等号，故a=0符合要求；

②当a≠0时，令g（x）=ax ²+（2a+1）x+1，

因为△=（2a+1） ²-4a=4a ²+1＞0，

所以g（x）有两个不相等的实数根x ₁，x ₂，不妨设x ₁＞x ₂，

因此f（x）有极大值又有极小值．

若a＞0，因为g（-1）g（0）=-a＜0，

所以f（x）在（-1，1）内有极值点，

故f（x）在[-1，1]上不单调．

若a＜0，可知x ₁＞0＞x ₂，因为g（x）的图象开口向下，要使f（x）在[-1，1]上单调，

因为g（0）=1＞0，必须满足

g(1)≥0

g(-1)≥0 ，即

3a+2≥0

-a≥0 ，所以 -

2

3 ≤a＜0 ．

综上可知，a的取值范围是[ -

2

3 ，0 ]．