初三的灵灵从小就喜欢动手动脑,请看他的研究:

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  • 解题思路:由于AB是直径,由圆周角定理知∠ACB=90°,而EF⊥OC,且OC是∠ECF的角平分线,即可证得△ECF是等腰直角三角形,CE=CF,由中垂线的性质知:CE=DE=CF=DF,即可证得四边形CEDF是正方形,然后根据这个条件来判断各选项是否正确.

    ∵AB是⊙O的直径,

    ∴∠ACB=90°,

    由(4)知:EF⊥CD,而CD平分∠ECF,易证得△ECF是等腰三角形;

    ∴CE=CF;

    ∵直线l垂直平分CD,

    ∴CE=DE,CF=DF,即CE=CF=DE=DF,

    ∴四边形CEDF是正方形;(故②正确)

    ∴∠EDF=90°,则∠ADE+∠BDF=90°,(故①正确)

    由②知:DF∥AC,则∠FDB=∠EAD,

    易证得Rt△AED∽Rt△DFB,

    ∴DE•DF=AD•BD,即四边形CEDF的面积为AD•DB,(故③正确)

    因此3个结论都正确,

    故选D.

    点评:

    本题考点: 相似三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;正方形的判定;圆周角定理.

    考点点评: 此题主要考查了圆周角定理、正方形的判定、线段垂直平分线的性质以及相似三角形的判定和性质等知识,能够得到四边形CEDF是正方形是解决此题的关键.