解(1)
求极限
lim x→0 (e^x-x)^[1/(1-cosx)]
先取自然对数；原式等于
ln(e^x-x)/(1-cosx)
分子分母在lim x→0时,均为0,所以使用罗必塔法则,上下求导：
=[(e^x-1)/(e^x-x)]/sinx
消除不为零的e^x-x,则继续等于
(e^x-1)/sinx
继续求导
e^x/cosx,代入 x=0.则为1
lim x→0 (e^x-x)^[1/(1-cosx)]
=lim x→0 e^x/cosx=e^1=e
(2)
这不是柯西中值定理吗?
证明;构造函数:
F(x)=f(x)-f(a)-[f(b)-f(a)(g(x)-g(a)]/(g(b)-g(a))
f(x)、g(x)均在[a,b]上连续,在(a,b)内可导
F(x)是f(x),g(x)的组合函数,
所以
F(x)也在[a,b]上连续,(a,b)内可导
很容易验证,
F(a)=F (b)
所以]
F(x)是满足洛尔定理的
所以在(a,b)上,至少存在一点C使得
[f(c)-f(a)]/[g(b)-g(c)]=f'(c)/g'(c)