Question

如图,已知直线L过点A(0,1)和B(1,0),P是x轴正半轴上的动点,OP的垂直平分线叫L于点Q交X轴为点M,（X轴中

Answer 1

（1） y=1-x

（2）∵ ,∴ 点的横坐标为 ,

①当 ,即 时, ,

∴ ．3分

②当 时, ,

∴ ．

∴ 4分

当 ,即 时, ,

∴当 时, 有最大值 ．6分

（3）由 ,所以 是等腰直角三角形,若在 上存在点 ,使得 是以 为直角顶点的等腰直角三角形,则 ,所以 ,又 轴,则 , 两点关于直线 对称,所以 ,得 ．7 分

下证 ．连 ,则四边形 是正方形．

法一：（i）当点 在线段 上, 在线段 上

（ 与 不重合）时,如图–1．

由对称性,得 ,

∴ ,

∴ ．8分

（ii）当点 在线段 的延长线上, 在线段 上时,如图–2,如图–3

∵ , ∴ ． 9分

（iii）当点 与点 重合时,显然 ．

综合（i）（ii）（iii）, ．

∴在 上存在点 ,使得 是以 为直角顶点的等腰直角三角形．