Question

设x，y，z为互不相等的非零实数，且x+1y＝y+1z＝z+1x．求证：x2y2z2=1．

Answer 1

解题思路：分析本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的情形，即令x，y为互不相等的非零实数，且x+[1/y]=y+[1/x]，因为从x+[1/y]=y+[1/x]，易推出x-y=[1/x]-[1/y]，故有xy（x-y）=y-x，又因为x≠y，所以xy=[y−x/x−y]=-1，所以x²y²=1．三元与二元的结构类似．

证明：由已知x+

1

y＝y+

1

z＝z+

1

x得出：

∵x+[1/y]=y+[1/z]，

∴x-y=[1/z−

1

y]，

x-y=[y−z/yz]，

∴yz=[y−z/x−y]，①

同理得出

zx=[z−x/y−z]，②

xy=[x−y/z−x]．③

①×②×③得x²y²z²=1．

点评：

本题考点： 分式的等式证明．

考点点评： 此题主要考查了分式的等式证明，由x+[1/y]=y+[1/x]得出xy=[y−x/x−y]=-1，即x2y2=1，得出三元的做法，运用这种欲进先退的解题策略探索解决这个问题比较简单．