解答过程说明：
我会用 S(n) 代替 Sn , a(n) 代替 an , 用 a^b 表示 a的b次方
(1) 根据定义可知 S(1) = a(1),
代入 S(n) = 3*a(n) - 5n
可得 a(1) = 3*a(1) - 5*1
解方程可得 a(1) = 5/2
(2) 根据 S(n) = 3*a(n) - 5n …… (a)
升阶得S(n+1) = 3*a(n+1) - 5(n+1) …… (b)
(b)-(a)
得到 S(n+1) - S(n) = 3*a(n+1) - 5(n+1) - 3*a(n) + 5n
因为 S(n+1) - S(n) = a(n+1)
所以 a(n+1) = 3*a(n+1) - 5(n+1) - 3*a(n) + 5n
化简得 3*a(n) = 2*a(n+1) - 5
即 3*a(n) + 15 = 2*a(n+1) + 10
即 3/2[ a(n)+5 ] = a(n+1)+5
所以数列{an+5}是以 a(1)+5 为首项,以 3/2 为公比的等比数列,
通项公式为 [a(n)+5] = [a(1)+5] * [(3/2)^(n-1)]
即 [a(n)+5] = [(5/2)+5] * [(3/2)^(n-1)]
化简得到 a(n) = 5*[(3/2)^n] - 5
(3) 把{an}的通项公式代入bn=(9n+4)/(an+5) 化简,可以将问题转换为
对于任意n∈N*,是否存在m使
(9n+4)/[5 * (3/2)^n] < m
恒成立
1°非导数法
我直接切入正题了
我们要求的是 (1/5) * (9n+4) * (2/3)^n 的最大值
我们先设 g(n)=(1/5) * (9n+4) * (2/3)^n
先令 g(n)>g(n+1) 那么
得出(1/5)*(9n+4)*(2/3)^n > (1/5)*[9(n+1)+4]*(2/3)^(n+1)
很容易解出 n >= 2 (n大于或等于2)
也就是说, g(2) > g(3) > g(4) > g(5) > g(6) ……
那么,g(x)的最大值就之可能为g(1)或g(2)了,
经过计算,g(2)>g(1),
所以g(x)的最大值为g(2)=88/45
所以m的最小值为 88/45
2°导数法
设函数 f(x) = ( 9x + 4 ) / [5 * (3/2)^x]
变形得 f(x) = (1/5) * ( 9x + 4 ) * [(2/3)^x]
求导得
f'(x)
= (1/5) * {9*[(2/3)^x] + (9x+4)*[(2/3)^x]*ln(2/3)}
= (1/5) * [(2/3)^x] * [9 + (9x+4)*ln(2/3)]
（通过百度计算器,我们可以很容易求出..当x在2到3之间的时候
函数取到极值,不过这个东西在解题的时候就不用说明了
O(∩_∩)O~）
因为 f'(x)的极大值在区间(2,3)之间取到,所以可以知道f'(x)是存
在最大值的,而且取到最大值时x在(2,3),并且在最大值左边,函数单
调递增,在右边函数单调递减,所以当x取值为正整数时,f(x)的最大值
为f(2)或f(3),
代入可知
f(2)>f(3)
所以f(x)的最大值在x=2时取到,此时f(2)=88/45
当然,此时可以看出,题目有一点小小的漏洞,因为理论上来说,这样的
题目到了这一步都会要求求出m的最小值,而不是m的值,因为m可以是
大于88/45的任何值
结论:m=88/45
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我总觉得题目最后那个 bn ＜ m 应该是 bn