已知△ABC中,AC=4,BC=5,AB=6.

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  • 解题思路:(1)①过点D作BC的平行线,∠AED=∠ABC,做∠AED=∠ACB,这两种情况.

    ②利用相似三角形对应边成比例,将AD=m代入即可.

    (2)当MN∥AC时,△BMN与△ABC相似总是存立,只要求出点N与点C重合,且△BMN∽△BCA时AM的长即可,当△BMN∽△BCA(N与C重合)时,有∠BMC=∠ACB,当符合题意的△BMN唯一时,x的取值范围是0≤x<[11/6].

    (1)①如图所示

    ②情况一:∵△AED∽△ABC,且∠AED=∠ABC,

    ∴[AE/AB=

    AD

    AC],

    ∴AE=

    3

    2m;(1分)

    情况二:∵△ADE∽△ABC,且∠AED=∠ACB,

    ∴[AE/AC=

    AD

    AB],

    ∴AE=

    2

    3m;(1分)

    (2)∵当MN∥AC时,△BMN与△ABC相似总是存立,

    ∴只要求出点N与点C重合,且△BMN∽△BCA时AM的长即可.(1分)

    当△BMN∽△BCA(N与C重合)时,有∠BMN=∠ACB,则[BC/BM=

    BA

    BC],

    即[5/6−x=

    6

    5],

    ∴x=

    11

    6(1分)

    ∴当符合题意的△BMN唯一时,x的取值范围是0≤x<[11/6].(2分)

    点评:

    本题考点: 相似三角形的判定与性质.

    考点点评: 本题关键是要懂得利用对应角相等判定相似三角形,然后利用相似三角形的对应边成比例的性质来求解的.尤其是第(1)比较容易,(2)稍微有点难度.