Question

线性代数的问题设n阶实对阵矩阵A是正交且正定的矩阵,请问如何证明：A必是单位矩阵,

Answer 1

证明：

A为正交矩阵,则AAT=E,有AT=A,则AA=E,故AA-E=0

设A的特征值为λ与α,则(AA-E)α=λ^2α-α=0,又因为α不为0,则λ^2=1,故λ=1或-1,故A的特征值只能为1或-1

又因为A为正定,故A的特征值只能为1,故λ=1为A的三重特征值

A为实对称矩阵,故A一定可以相似对角化,且存在可逆矩阵P满足：

P^-1AP=E 所以A=PEP^-1=E

故,A为单位矩阵E