如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分,我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线,例如平行四边形的一条对

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  • 解题思路:(1)读懂面积等分线的定义,不难得出:一定是三角形的面积等分线的是三角形的中线所在的直线;

    (2)根据等底等高可得S△ABC=S△AEC,即可证明S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED;过点A的梯形ABCD的面积等分线的画法,可以先作DE的垂直平分线,找到DE的中点G,再连接AG即可;

    (3)能,连接AC,过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E,连接AE,证明可仿照(2)进行.

    (1)中线所在的直线;

    (2)方法一:连接BE,因为AB∥CE,AB=CE,所以四边形ABEC为平行四边形,

    所以BE∥AC(3分),

    所以△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等,

    所以有S△ABC=S△AEC

    所以S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED

    方法二:设AE与BC相交于点F.

    因为AB∥CE所以∠ABF=∠ECF,∠BAF=∠CEF,

    又因为AB=CE,

    所以△ABF≌△ECF,

    所以S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED

    过点A的梯形ABCD的面积等分线的画法如图所示:作DE的垂直平分线,交DE于G,连接AG.则AG是梯形ABCD的面积等分线;

    (3)能,连接AC,过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E,连接AE.

    因为BE∥AC,所以△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等,所以有S△ABC=S△AEC

    所以S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED

    因为S△ACD>S△ABC

    所以面积等分线必与CD相交,取DE中点F,则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线,作图如下:

    点评:

    本题考点: 作图—复杂作图;三角形的面积;全等三角形的判定;梯形.

    考点点评: 本题考查了学生的阅读理解能力、运用作图工具的能力,以及运用三角形、等底等高性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求.还渗透了由“特殊”到“一般”的数学思想.