解题思路:(1)读懂面积等分线的定义,不难得出:一定是三角形的面积等分线的是三角形的中线所在的直线;
(2)根据等底等高可得S△ABC=S△AEC,即可证明S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED;过点A的梯形ABCD的面积等分线的画法,可以先作DE的垂直平分线,找到DE的中点G,再连接AG即可;
(3)能,连接AC,过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E,连接AE,证明可仿照(2)进行.
(1)中线所在的直线;
(2)方法一:连接BE,因为AB∥CE,AB=CE,所以四边形ABEC为平行四边形,
所以BE∥AC(3分),
所以△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等,
所以有S△ABC=S△AEC,
所以S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED.
方法二:设AE与BC相交于点F.
因为AB∥CE所以∠ABF=∠ECF,∠BAF=∠CEF,
又因为AB=CE,
所以△ABF≌△ECF,
所以S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED.
过点A的梯形ABCD的面积等分线的画法如图所示:作DE的垂直平分线,交DE于G,连接AG.则AG是梯形ABCD的面积等分线;
(3)能,连接AC,过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E,连接AE.
因为BE∥AC,所以△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等,所以有S△ABC=S△AEC,
所以S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED.
因为S△ACD>S△ABC,
所以面积等分线必与CD相交,取DE中点F,则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线,作图如下:
点评:
本题考点: 作图—复杂作图;三角形的面积;全等三角形的判定;梯形.
考点点评: 本题考查了学生的阅读理解能力、运用作图工具的能力,以及运用三角形、等底等高性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求.还渗透了由“特殊”到“一般”的数学思想.