Question

若an=2an-1+n,a1=1,求{an}通项公式.

Answer 1

an=2an-1+n

两边同时加x得

an+x=2a(n-1)+n+x

=2[a(n-1)+(n+x)/2]

x=(n+x)/2+1

2x=n+x+2

x=n+2

所以

两边同时加n+2得

an+(n+2)=2a(n-1)+2n+2

an+(n+2)=2[a(n-1)+(n-1)+2]

所以

an+(n+2)是一个首项为a1+3=4公比为2的等比数列

an+(n+2)=4*2^(n-1)=2^(n+1)

所以

an=2^(n+1)-(n+2)