解题思路:(I)利用等比数列的通项公式即可得出;(II)利用(I)和对数的运算法则可得bn,再令bn≥0解得n,即可得出;(III)计算Cn+1-Cn即可得出数列Cn的单调性,则“存在整数k,使得Cn>k35对∀n∈N*恒成立”⇔(Cn)min>k35,解出即可.
(Ⅰ)由an+1=
1
3an,
∴数列{an}是首项为[1/3]公比为[1/3]的等比数列,
∴an=(
1
3)n.
(II)由bn=log3an+5=log33−n+5=-n+5.
∴bn=-n+5.
当n>5时,bn<0;当n≤5时,bn≥0,
∴当n=4或n=5时,Tn取最大值,
此时T4=T5=
(4+0)×5
2=10.
(III)Cn=(
1
3)n×(5−n),
由Cn+1−Cn=(
1
3)n+1×(4−n)−(
1
3)n×(5−n)
=(
1
3)n+1×(4−n−15+3n)
=(
1
3)n+1×(2n−11),
得当n≤5时,Cn+1<Cn;当n>5时,Cn+1>Cn,
即C6,是数列{Cn}的最小项,C6=−(
1
3)6.
又Cn>
k
35对∀n∈N*恒成立,即(Cn)min>
k
35,
∴−(
1
3)6>
k
35,解得k<−
1
3.
∴存在整数k,使得Cn>
k
35对∀n∈N*恒成立,此时k的最大值为-1.
点评:
本题考点: 数列递推式;数列的求和;数列与不等式的综合.
考点点评: 本题考查了等比数列的通项公式、对数的运算法则、数列的单调性、数列前n项和的性质、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法,属于难题.