如图,在直角△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,AC=4,D是AC边上的一个动点(不与A、C点重合),过点D作AC边

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  • 解题思路:(1)根据直角三角形的性质和三角形的外角性质得出∠CGD=∠C,根据等腰三角形的判定即可求出答案;

    (2)根据直角三角形的性质和三角形的内角和定理得到∠A=60°,AB=2,推出AH=HD=AD,求出GD=CD=4-x,①若DH交线段AB的延长线于点H,求出y+4-x=x,②若DH交线段AB于点H,求出4-x-y=x,整理后即可得到答案.

    (1)证明:∵ED⊥AC,∠C=30°,F是EC的中点,

    ∴DF=FC,∠C=∠FDC=30°,

    ∴∠GFD=60°,又GD⊥DF,

    ∴∠CGD=∠C=30°,

    ∴GD=DC.

    (2)∵∠ABC=90°,∠C=30°,AC=4,

    ∴∠A=60°,AB=2,

    又∠HDA=∠C+∠CGD=60°,

    ∴AH=HD=AD,

    ∵AD=x,AC=4,HG=y,

    ∴GD=CD=4-x,

    ①若DH交线段AB的延长线于点H(如图1)

    有HG+GD=AD,

    ∴y+4-x=x,

    ∴y=2x-4(2≤x<4),

    ②若DH交线段AB于点H(如图2)

    有GD-GH=AD,

    ∴4-x-y=x,

    ∴y=4-2x(1≤x<2),

    答:y关于x的函数解析式是y=2x-4(2≤x<4)或 y=4-2x(1≤x<2).

    点评:

    本题考点: 含30度角的直角三角形;根据实际问题列一次函数关系式;三角形内角和定理;三角形的外角性质;等腰三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线.

    考点点评: 本题主要考查对三角形的内角和定理,等腰三角形的性质和判定,直角三角形的斜边上的中线性质,含30度角的直角三角形的性质,根据实际问题列一次函数解析式,三角形的外角性质等知识点的理解和掌握,能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键.