解题思路:(1)若f(x)=x2属于集合M,则方程(x+1)2=x2+1有根,解二次方程如果该方程有根,则数f(x)=x2属于集合M.
(2)若f(x)=[1/x]属于集合M,则方程[1/x+1]=[1/x]+1有根,解二次方程如果该方程有非零根,则数f(x)=[1/x]属于集合M.
(3)若b=0时,f(x)=0(x≠-a)显然不属于集合M.若当b≠0时,D=(-∞,-a)∪(-a,+∞),由对于任意实数a,函数
f(x)=
b
x+a
均属于集合M,故
b
x
0
+a+1
=
b
x
0
+a
+1
一定有解,根据△≥0,我们构造出一个关于b的不等式,解不等式即可得到实数b的取值范围.
(1)D=R,若f(x)=x2属于集合M,
则存在实数x0,使得(x0+1)2=x02+1,解得x0=0,因为此方程有实数解,
所以函数f(x)=x2属于集合M.(5分)
(2)D=(-∞,0)∪(0,+∞),
若f(x)=[1/x]∈M,则存在非零实数x0,使得
[1
x0+1=
1
x0+1,即x02+x0+1=0,
因为此方程无实数解,所以函数f(x)=
1/x]∉M.(5分)
(3)当b≠0时,D=(-∞,-a)∪(-a,+∞),
由f(x)=
b
x+a,存在实数x0,使得[b
x0+a+1=
b
x 0+a+1,
即x02+(2a+1)x0+a2+a+b=0(x0≠-a,-a-1)对于任意实数a均有解,
所以△≥0恒成立,解得b≤
1/4],有b∈(−∞,0)∪(0,
1
4],(15分)
当b=0时,f(x)=0(x≠-a)显然不属于集合M.
所以,实数b的取值范围是(−∞,0)∪(0,
1
4].(18分)
点评:
本题考点: 元素与集合关系的判断.
考点点评: 本题考查的知识点是元素与集合的关系的判断,要想判断一个元素x是否属于集合M,仅需要判断x是否满足M的性质即可.