Question

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC＝π4，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点

Answer 1

解题思路：（1）由题意判断OA为三棱锥O-BCD的高，利用三棱锥的换底性，计算三棱锥O-BCD的体积；

（2）连接MC，可证∠CDM为异面直线AB与MD所成的角，在△CDM中，分别求出三边长，利用余弦定理计算角的余弦值，进而求得角的大小．

（1）∵OA⊥底面ABCD，∴OA为三棱锥O-BCD的高，OA=2，

在△BCD中，∠BCD=[3π/4]，

∴S_△BCD=[1/2]×1×1×

2

2=

2

4，

∴V_B-OCD=V_O-BCD=[1/3]×

2

4×2=

2

6；

（2）连接MC，

∵AB∥CD，∴∠CDM为异面直线AB与MD所成的角，

∵∠ABC=[π/4]，∴AC=

1+1−2×1×1×

2

2

点评：

本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．

考点点评： 本题考查了利用三棱锥的换底性求三棱锥的体积，考查了异面直线所成角的定义及求法，考查了学生的空间想象能力与运算能力，属于中档题．