如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0)、B(-4,0)两点,交y轴与C点.(1)求该抛物线的解析式;(2

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  • (1)将A(1,0),B(-4,0)代入y=-x2+bx+c中得

    ?1+b+c=0

    ?16?4b+c=0,

    解得

    b=?3

    c=4.

    所以抛物线解析式为:y=-x2-3x+4;

    (2)在该抛物线位于第二象限的部分上是否存在点D,使得△DBC的面积S最大.理由如下:

    设D点坐标为(x,-x2-3x+4)(-4<x<0).如图,过D点作DE⊥x轴于点E.

    ∵S△DBC=S四边形BDCO-S△BOC=S四边形BDCO-[1/2]×4×4=S四边形BDCO-8,

    若S四边形BDCO有最大值,则S△DBC就最大,

    ∴S四边形BDCO=S△BDE+S直角梯形DEOC

    =[1/2]BE?DE+[1/2]OE(DE+OC)

    =[1/2](x+4)(-x2-3x+4)+[1/2](-x)(-x2-3x+4+4)

    =-2x2-8x+8

    =-2(x+2)2+16,

    当x=-2时,S四边形BDCO最大值=16.

    ∴S△BDC最大值=16-8=8.

    当x=-2时,-x2-3x+4=-(-2)2-3×(-2)+4=6,

    ∴点D坐标为(-2,6);

    (3)能够在直线BC上找到一个点M,在抛物线上找到一个点N,使得C、F、M、N四点组成的四边形为平行四边形.理由如下:

    ∵y=-x2-3x+4=-(x+[3/2])2+[25/4],

    ∴顶点F的坐标为(-[3/2],[25/4]).

    ∵B(-4,0),C(0,4),

    ∴直线BC的解析式为y=x+4.

    分两种情况:①CF是边.

    如图,过点F作FN∥BC,交抛物线于点N,设直线FN的解析式为y=x+m,

    把F(-[3/2],