Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，且AB=AA1=1

Answer 1

解题思路：（1）直接根据其为直棱柱以及AB=AA₁=1得到AC⊥A₁B和A₁B⊥AB₁；即可得A₁B⊥B₁C；

（2）先根据A₁C₁∥AC把点C₁到平面AB₁C的距离转化为点A₁到平面AB₁C的距离；再结合第一问的结论即可求出结果；

（3）先建立空间直角坐标系，求出两个半平面的法向量，再代入向量的夹角计算公式结合不等式即可求出答案．

（1）因为在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，且AB=AA₁=1

所以：AC⊥AA₁，⇒AC⊥平面AA₁B₁B⇒AC⊥A₁B①；

又AA₁B₁B为正方形⇒A₁B⊥AB₁；②

由①②⇒A₁B⊥平面ACB₁⇒A₁B⊥B₁C．

（2）∵A₁C₁∥AC⇒A₁C₁∥平面ACB₁⇒

所以点C₁到平面AB₁C的距离等于点A₁到平面AB₁C的距离；

由第一问的结论得：A₁B⊥平面ACB₁⇒A₁到平面AB₁C的距离等于：

A1B

2=

2

2．

即点C₁到平面AB₁C的距离为：

2

2．

（3）以AC为X轴，AB为Y轴，AA₁为Z轴建立直角坐标系；设AC=a

则A（0，0，0），B（0，1，0），C（a，0，0）B₁（0，1，0），A₁（1，0，1）．

∴

AB1=（0，1，1），

AC=（a，0，0），

B1B=（0，0，-1），

BC=（a，-1，0）．

设平面AB₁C的法向量

点评：

本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系；点、线、面间的距离计算．

考点点评： 本题主要考查线线垂直的证明以及点到面的距离和二面角的求法．是对立体几何知识的综合考查，属于综合性题目，解决第三问用到了空间向量，直接找二面角的平面角有点麻烦．