Question

若对于正整数k，g（k）表示k的最大奇数因数，例如g（3）=3，g（10）=5；设Sn=g（1）+g（2）+g（3）+g

Answer 1

解题思路：对m∈N*，有g（2m）=g（m），从而可得当n≥2时，Sn=4n-1+Sn-1，利用Sn=（Sn-Sn-1）+（Sn-1-Sn-2）+…+（S2-S1）+S1，即可求得结论．

由题意，g（6）=3，g（10）=5，可得对m∈N^*，有g（2m）=g（m）．

所以当n≥2时，Sn=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+…+g（2^n-1）+g（2ⁿ）

=[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）]

=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+[g（2×1）+g（2×2）+…+g（2×2^n-1）]

=

(1+2n−1)×2n−1

2+[g（1）+g（2）+…+g（2^n-1）]=4^n-1+S_n-1，

于是S_n-S_n-1=4^n-1，n≥2，n∈N^*．

所以S_n=（S_n-S_n-1）+（S_n-1-S_n-2）+…+（S₂-S₁）+S₁=4^n-1+4^n-2+…+4²+4+2

=

4(1−4n−1)

1−4+2=

4n

3+

2

3，n≥2，n∈N^*．

又S₁=2，满足上式，

所以对n∈N^*，S_n=[1/3]（4ⁿ+2）

故答案为：S_n=[1/3]（4ⁿ+2）

点评：

本题考点： 数列的求和．

考点点评： 本题考查新定义，考查数列的求和，解题的关键是正确理解新定义，正确求数列的和是关键．