一个自然数a,若将其数码重新排列可得到一个新的自然数b,如果a恰是b的三倍,我们称a是一个希望数.

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  • 解题思路:(1)根据希望数的定义可知,428571=3×142857,故此数即为希望数;

    (2)由于a、b均为希望数,所以存在一个由a的数字重新排列而成的自然数p,使得a=3p并且a的数字和等于p的数字和,根据整除的判别法可知a为3的倍数、p为9的倍数,再由a,b都是“希望数”,可知a,b都是27的倍数,设a=27n1,b=27n2(n1,n2为正整数)代入ab即可得出答案.

    (1)因为428571=3×142857,

    所以428571是一个“希望数”.

    (2)因为a为“希望数”,依“希望数”定义知,存在一个由a的数字重新排列而成的自然数p,使得a=3p并且a的数字和等于p的数字和.

    因为a=3p和a为3的倍数,但a的数字和等于P的数字和,

    所以由整除判别法,知p为3的倍数,

    所以p=3m,(m为正整数),

    所以a=3×p=3×3m=9m,

    所以a被9整除.

    因为a的数字和等于p的数字和,

    所以由被9整除的判别法可知p能被9整除,即p=9k(k为整数),

    所以p=3a=3×9k=27k

    所以a是27的倍数.

    所以“希望数”一定能被27整除.

    因为a,b都是“希望数”,

    所以a,b都是27的倍数,即a=27n1,b=27n2(n1,n2为正整数).

    所以ab=(27n1)(27n2

    =(27×27)(n1×n2

    =729n1n2

    所以ab一定是729的倍数.

    点评:

    本题考点: 数字问题.

    考点点评: 本题考查的是“希望数”的定义及数的整除性问题,根据题意掌握“希望数”的定义是解答此题的关键.