Question

A=0 -1 1 -1 0 1 1 1 0（一个三阶矩阵）,求一个正交矩阵P使P^-1AP=B为对角阵.

Answer 1

设A的特征值为λ

则|A-λE|=

-λ -1 1

-1 -λ 1

1 1 -λ 第2行减去第1行,第3行加上第1行*λ

=

-λ -1 1

-1+λ -λ+1 0

1 1 -λ 第2列加上第1列

=

-λ -1-λ 1

-1+λ 0 0

1 2 -λ 按第2行展开

=(-1+λ)(λ²+λ-2)=0

解得λ=1,1,-2

当λ=1时,

A-E=

-1 -1 1

-1 -1 1

1 1 -1 第1行加上第3行,第2行加上第3行,交换第1和第3行

～

1 1 -1

0 0 0

0 0 0

得到特征向量(1,0,1)^T和(0,1,1)^T

正交化为(1,0,1)^T和(-1,2,1)^T

当λ= -2时,

A+2E=

2 -1 1

-1 2 1

1 1 2 第1行加上第2行*2,第2行加上第3行

～

0 3 3

0 3 3

1 1 2 第1行减去第2行,第2行除以3,第3行减去第2行

~

0 0 0

0 1 1

1 0 1 交换第1和第3行

~

1 0 1

0 1 1

0 0 0

得到特征向量(-1,-1,1)^T

再对特征向量进行单位化

分别得到

(1/√2,0,1/√2)^T,(-1/√6,2/√6,1/√6)^T,(-1/√3,-1/√3,1/√3)^T

于是正交矩阵P为

1/√2 -1/√6 -1/√3

0 2/√6 -1/√3

1/√2 1/√6 1/√3