矩阵与变换教学
中几个问题的思考
市五中 韦理
学生刚接触矩阵与变换有关内容时,他们在理解上还是有困难的,一方面,矩阵这种符号化系统以及相应的乘法运算(虽然是很基本的二阶矩阵的乘法)对学生来讲是全新的;另一方面,平面上的六种几何变换对应二阶矩阵的乘法是一种更高级的数形结合思想的体现.教师如何找到恰当的策略去教学,无疑对学生较好地学习本部分知识是很重要的,本文准备就其中三个问题的教学谈谈本人的见解.
1,将伸压变换与伸缩变换进行有机联系
伸压变换与伸缩变换是有区别的,伸压变换可以既对又对进行的伸缩变换,而高中阶段所学习的伸缩变换是只讨论对或对进行的伸缩变换.但两者有很紧密的联系,教学时应将两者进行联系.
1.1两种变换的核心都是点的变换
曲线是有规律的点构成的集合,因此可以通过讨论一般点变换的规律而得到曲线方程的变化规律,图象的伸压变换与伸缩变换都可以用点的变换表现为下面的形式.
点
此处的参数也就是选修4-4极坐标与参数方程中的伸缩参数
(2)可以 看成是(1)的代数表示形式,它正好提示了矩阵与变换这节内容的本质.事实上,六种平面变换的核心都是点的变换,抓住点的变换进行教学可以收到事半功倍的效果.
2.2对方程的讨论要借助于坐标转移法
以上(1)所对应的伸缩变换,在曲线方程方面可以体现为:
学生在学习伸缩变换时,理解上有困难,教师应该利用学习伸缩变换的机会,让学生真正理解它,它利用了坐标转移法
设 为目标曲线上一点(即平面变换中的象),而
是是的对应点(即为的原象点)
,,,代入
中得=0 ,得曲线方程为=0.
至于函数图象变换中的伸缩变换可以认为是图象伸缩变换的特殊情况,即
的图象 的图象
因此,可以利用坐标转移法将伸压变换与伸缩变换进行有机的联系.
2,切变变换的教学
切变变换是六种平面变换的难点,为了让学生真正理解它,教学中仍然应该讨论点的变换,以下以轴方向上的切变变换为例:
六种平面变换的教学应该更多地让学生理解变换产生的过程即通过对点的讨论,借助于坐标转移法使学生体会六种平面变换与二阶矩阵的乘积之间的对应,提高对数形结合思想的认识.教学中如果只是让学生记住几个相应矩阵那就本末倒置了.通过以上的论述可以发现,
作为P8 例5(1)已知变换,试将它写成坐标变换的形式;
(2)已知变换,试将它写成矩阵乘法的形式.
建议两小题都用文字语言作为一个过渡,更有利于下一节的教学.
P11 8计算,并解释计算结果的几何意义.
结果为,怎么解释它的几何意义
在进行六种变换的教学时不妨将文字语言作为一种中介语言,比如在切变变换矩阵作用下的变换可以先叙述成纵坐标不变,横坐标为原来的横坐标与纵坐标2倍的和,这样它所具有的几何意义也就很清楚了.
(2),变换确定后如何得变换所对应的矩阵
P12的恒等变换,T:,教材直接得到它所对应的 矩阵为,但这样教学是否恰当 可以采用这样的方式;设,所以,它们是关于x,y的恒等式,所以a=1,b=0,c=0,d=1;所以,同样的其它五个变换矩阵,刚开始也可以采用这种方式教学,当学生熟练后再给出结论更能让学生理解.
(3),伸压变换与伸缩变换
教参P8有一段话:伸压变换不同于伸缩变换,伸缩变换是指横坐标或者纵坐标都同时按比例拉伸或者压缩的变换(教参最后提醒是本书所讲的伸压变换).本人认为有两点要注意:
①伸压变换是伸缩变换的一种,它只能单独对x或单独y进行变换,而伸缩变换可以同时对x,y进行变换.
②选修4—2与选修4—4的比较
4—2
4—4
页码
相同
(系数为)
不同
沿x轴方向
向y轴
(4),切变变换矩阵的得到
P29的系数m是多少 应举一个具体的例子:
如图∽,
又∵ ∴
(5),可逆矩阵
应了解几个常见结论
①A可逆,条件为,
②是唯一的,
③
④条件AB=BA=E,可以只要一个,即AB=E.
略证:∴ ∴A可逆
∴
⑤,则
其中A,B,C为二阶矩阵
⑥若矩阵A存在可逆矩阵,AB=AC则 B=C;BA=CA,则 B=C
(6) P2有一个结论:一般地,二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线,它的证明用到了定比分点坐标公式,但新教材对此内容也已经淡化,在证明这个公式时,是补一下定比分点坐标公式,还是转换成用共线向量定理证明值得思考.
可以用下面的证明代替
(a,b,c,d不全0)对应的变换把平面上点
变成平面上的点,
,
设为直线上一点
∴ ⑴式
∵P点在直线上,∴ ‖∴‖
∴ ⑵式
,
=
=
∴与共线
(7)举例要恰当
第一个是伸压变换的举例,教参P8举了自动门的例子.第二个是ABBA的举例,"这就好比穿鞋子和穿袜子,颠倒了先后次序,结果就不一样了."
2.一点困惑
投影变换及可逆矩阵的理解都与映射有关,是否需要再补充一下映射知识,这似乎与新课程淡化映射的初衷不符.