已知:如图,在四边形ABFC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE.

6个回答

  • 解题思路:(1)根据中垂线的性质:中垂线上的点到线段两个端点的距离相等,有BE=EC,BF=FC,根据四边相等的四边形是菱形即可判断;

    (2)由菱形的性质知,对角线平分一组对角,即当∠ABC=45°时,∠EBF=90°,则菱形为正方形,根据直角三角形中两个角锐角互余得,∠A=45度.

    (1)∵EF垂直平分BC,

    ∴CF=BF,BE=CE,∠BDE=90°,BD=CD,

    又∵∠ACB=90°,

    ∴EF∥AC,

    ∴△BDE∽△BCA,

    ∴BE:AB=DB:BC,

    ∵D为BC中点,

    ∴DB:BC=1:2,

    ∴BE:AB=1:2,

    ∴E为AB中点,

    即BE=AE,

    ∵CF=AE,

    ∴CF=BE,

    ∴CF=FB=BE=CE,

    ∴四边形BECF是菱形.

    (2)当∠A=45°时,四边形BECF是正方形.

    证明:∵∠A=45°,∠ACB=90°,

    ∴∠CBA=45°,

    ∴∠EBF=2∠CBA=90°,

    ∴菱形BECF是正方形.

    点评:

    本题考点: 正方形的判定;线段垂直平分线的性质;菱形的判定.

    考点点评: 此题主要考查了菱形的判定方法以及正方形的判定和中垂线的性质、直角三角形的性质等知识,根据已知得出∠CBA=45°是解题关键.