解题思路:(1)根据中垂线的性质:中垂线上的点到线段两个端点的距离相等,有BE=EC,BF=FC,根据四边相等的四边形是菱形即可判断;
(2)由菱形的性质知,对角线平分一组对角,即当∠ABC=45°时,∠EBF=90°,则菱形为正方形,根据直角三角形中两个角锐角互余得,∠A=45度.
(1)∵EF垂直平分BC,
∴CF=BF,BE=CE,∠BDE=90°,BD=CD,
又∵∠ACB=90°,
∴EF∥AC,
∴△BDE∽△BCA,
∴BE:AB=DB:BC,
∵D为BC中点,
∴DB:BC=1:2,
∴BE:AB=1:2,
∴E为AB中点,
即BE=AE,
∵CF=AE,
∴CF=BE,
∴CF=FB=BE=CE,
∴四边形BECF是菱形.
(2)当∠A=45°时,四边形BECF是正方形.
证明:∵∠A=45°,∠ACB=90°,
∴∠CBA=45°,
∴∠EBF=2∠CBA=90°,
∴菱形BECF是正方形.
点评:
本题考点: 正方形的判定;线段垂直平分线的性质;菱形的判定.
考点点评: 此题主要考查了菱形的判定方法以及正方形的判定和中垂线的性质、直角三角形的性质等知识,根据已知得出∠CBA=45°是解题关键.