A,B满足上述条件称为同时对交化.
当且仅当A,B可交换,A,B可同时对角化.
具体的证明,如果C^(-1)AC与C^(-1)BC均为对角矩阵,则C^(-1)ACC^(-1)BC=C^(-1)BCC^(-1)AC
故A,B可交换.
如果A,B可交换,设C可以将A对角话,且对角化后相同的特征值在一起,那么C1^(-1)AC1是一个对角矩阵,C1^(-1)BC1是一个矩阵.
显然这两个是可交换,故无妨设P＝C1^(-1)AC,Q=C1^(-1)BC1,那么考虑PQ=QP的特点,不难发现,在P的分块下（相同的值作为一个分块,构成一个对角分块）,Q也构成一个分块形状一致的对角分块,那么将Q对角话（C2^(-1)QC2是对角的）的话不影响P是一个对角矩阵.那么记C=C2C1他可以同时将A,B对角化.