Question

数列{a n }的前n项和记为S n ，已知a n =5S n -3（n∈N）求 lim n→∞ （a 1 +a 3 +

Answer 1

由S _n=a ₁+a ₂++a _n知

a _n=S _n-S _n-1（n≥2），

a ₁=S ₁，

由已知a _n=5S _n-3得

a _n-1=5S _n-1-3．

于是a _n-a _n-1

=5（S _n-S _n-1）

=5a _n，

所以a _n=-

1

4 a _n-1．

由a ₁=5S ₁-3，

得a ₁=

3

4 ．

所以，数列{a _n}是首项a ₁=

3

4 ，公比q=-

1

4 的等比数列．

由此知数列a ₁，a ₃，a ₅，，a _2n-1，

是首项为a ₁=

3

4 ，公比为 (-

1

4 ) 2 的等比数列．

∴

lim

n→∞ （a ₁+a ₃+a ₅++a _2n-1）=

3

4

1- (-

1

4 ) 2 =

4

5 ．