Question

已知函数f（x）=x3-ax2-3x，若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

解题思路：对函数f（x）=x³-ax²-3x进行求导，转化成f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，求出参数a的取值范围．

y=3x²-2ax-3，

∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，

∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，

即3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立．

则必有[a/3]≤1且f′（1）=-2a≥0，

∴a≤0；

实数a的取值范围是（-∞，0]．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 主要考查函数单调性的综合运用，函数的单调性特征与导数之间的综合应用能力，把两个知识加以有机会组合．特别，在研究函数的单调区间或决断函数的单调性时，三个基本步骤不可省，一定要在定义域内加以求解单调区间或判断单调性．