如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB的中 - 知识问答

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,∠EDF=90°,DE交AC于E,DF交BC于F.

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（1）AE2+BF2=EF2,理由为：
连接CD,
∵AC=BC,∠ACB=90°,D为AB的中点,
∴CD=AD=BD=1/2AB
∠A=∠DCF=45°,
∵∠ADE+∠CDE=90°,
又∠EDF=90°,
∴∠EDC+∠CDF=90°,
∴∠ADE=∠CDF,
在△ADE和△CDF中,
∠A=∠DCF=45°AD=CD∠ADE=∠CDF
∴△ADE≌△CDF（ASA）,
∴AE=CF,又AC=BC,
∴AC-AE=BC-CF,即CE=BF,
在Rt△CEF中,根据勾股定理得：CE2+CF2=EF2,
则AE2+BF2=EF2；
（2）如图（2）当DE不与AC垂直时（1）的结论成立,理由为：
连接CD,
∵AC=BC,∠ACB=90°,D为AB的中点,
∴CD=AD=BD=1/2AB
∠A=∠DCF=45°,
∵∠ADE+∠CDE=90°,
又∠EDF=90°,
∴∠EDC+∠CDF=90°,
∴∠ADE=∠CDF,
在△ADE和△CDF中,
∠A=∠DCF=45°AD=CD∠ADE=∠CDF
∴△ADE≌△CDF（ASA）,
∴AE=CF,又AC=BC,
∴AC-AE=BC-CF,即CE=BF,
在Rt△CEF中,根据勾股定理得：CE2+CF2=EF2,
则AE2+BF2=EF2；

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