Question

已知函数f（x）=x3+mx2-m2x+1（m为常数，且m＞0），当x=-2时有极大值．

Answer 1

解题思路：（1）先求出函数的导数，求出m的值，从而求出函数的单调区间，（2）求出f（-1），f′（-1）的值，从而求出曲线的切线方程．

（1）f′（x）=3x²+2mx-m²；

∴f′（-2）=12-4m-m²=0，解得：m=2，或-6（舍去）；

∴f′（x）=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2），

令f′（x）＞0，解得：x＞[2/3]，或x＜-2，

令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜[2/3]，

∴f（x）在（-∞，-2）和（[2/3]，+∞）递增，在（-2，[2/3]）递减；

（2）由（1）得：f（x）=x³+2x²-4x+1，

∴f（-1）=6，f′（-1）=-5，

∴切线方程为：5x+y-1=0．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查了函数的单调性，考查曲线的切线方程，是一道中档题．