已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过O(0,0),M(1,1)和N(n,0)

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  • 解题思路:(1)M点为顶点,则O、N关于x=1对称,M点为最大值点,由此得出答案;

    (2)由于抛物线的图象经过原点,故c=0;将M、N两点坐标代入y=ax2+bx联立求解,并由解出的a值判断是否有最大值;

    (3)将M、N两点坐标代入y=ax2+bx联立得出含a、n的方程,由a>0确定n满足的条件.

    (1)由二次函数图象的对称性可知n=2;

    y的最大值为1.

    (2)由题意得:

    a+b=1

    4a−2b=0,

    解这个方程组得:

    a=

    1

    3

    b=

    2

    3;

    故这个二次函数的解析式为y=[1/3x2+

    2

    3x;

    1

    3]>0,

    ∴y没有最大值;

    (3)由题意得:

    a+b=1

    an2+bn=0,

    整理得:an2+(1-a)n=0,即n(an+1-a)=0;(8分)

    ∵n≠0,

    ∴an+1-a=0;

    故(1-n)a=1,而n≠1;

    若y有最小值,则需a>0,∴1-n>0,即n<1;

    ∴n<1且n≠0时,y有最小值.

    点评:

    本题考点: 二次函数综合题.

    考点点评: 此题主要考查了抛物线的性质、二次函数图象与系数的关系等重要知识点,难度适中.