无需讨论左右导数,因为x＞0和x＜0的对应法则是一样的.另外分段函数在分段点处的导数一般最好用定义求.你的疑惑恐怕是因为你使用了求导法则了.f(x)在x＝0处可导时,f(x)在x＝0的附近一定可导?
1、若f(x)在x＝0处连续,则lim(x→0)f(x)＝lim(x→0) x^a*sin(1/x)＝f(0)＝0.只有当a＞0时,此极限是无穷小与有界函数的乘积,极限才是0.所以a＞0时,f(x)在x＝0处连续.
若f(x)在x＝0处可导,则lim(x→0) [f(x)－f(0)]/x＝lim(x→0) x^(a-1)*sin(1/x)存在.只有当a－1＞0时,此极限是无穷小与有界函数的乘积,极限方可存在.所以a＞1时,f(x)在x＝0处可导,且导数为0.
若f(x)在x＝0处导数连续,则首先a＞1,f'(0)＝0.x≠0时,f'(x)＝x^(a-1)*sin(1/x)－x^(a-2)*cos(1/x).f(x)在x＝0处导数连续,则lim(x→0) f'(x)＝lim(x→0)[x^(a-1)*sin(1/x)－x^(a-2)*cos(1/x)]＝f'(0)＝0.所以a-1＞0,a-2＞0,得a＞2.所以a＞2时,f(x)在x＝0处导数连续.
2、记An＝1＋x^n+(x^2/2)^n（注意常数a对应的数列a^(1/n)的极限是1）.思路是使用夹逼定理,比较1、x、x^2/2的大小关系.
x＝0时,极限是1
0＜x≤1时,1≤An＜3,所以极限是1
1＜x≤2时,x^n＜An≤3×x^n,所以极限是x
x＞2时,(x^2/2)^n＜An≤3×(x^2/2)^n,所以极限是x^2/2