应该是 dealing with.
整句话的意思是：这场战争多年以前已经结束,但在伊拉克的美国士兵仍然有很多的故障/麻烦/问题要处理.
解释：
doing with 一般意思是：忍受,处置, 对待, 对付(某人),需要,想要,与...有关,控制等.
比如：Everyone does well with him. （每个人对他很好）
I could do with a bath. （我想洗个澡）
I am not involved in it; it has nothing to do with me.
（我与这事没有牵连; 它与我无关）
It is difficult to do with her. （和她相处不易）
可见 do with 后面一般跟的都是宾格的人称代词,并没有牵扯到困难,麻烦等等.
而deal with,一般意思是应付,处理,对待,解决,论述,涉及等基本大意,
比如：He must deal with many difficulties. 他必须应付许多困难.
The book deals with this problem. 这本书论述了这个问题.
可见deal with 通常是指对付某种疑难问题,处理某些困难事件,解决问题等等,后面常跟 trouble、problem、difficulty等等这类词.
所以答案是 dealing with. 希望对你有帮助了!