Question

设ABCD为平行四边形,∠ABC＞90º,O为其对角线交点,自点D作对对角线AC的垂线 证明：四点共圆

Answer 1

做出来啦!

自点D作对对角线AC的垂线,垂足为B',自点D作AB边垂线,垂足为C',自点D作BC边的垂线.垂足为A'

(1)OC'=DB/2=OA'=OB

故∠OC'B+∠OA'B=∠OBC'+∠OBA'=∠CBA

(a)第一种情况,A'在线段BC上

∠C'OA'=360-(∠OC'B+∠OA'B)-∠CBA=360-2∠CBA

(b)第二种情况,A'在CB延长线上

∠C'OA=2∠ABD-∠AOD

∠C'OA'=∠OA'C+∠BCA-∠C'OA=∠BAD+∠ABD+∠BCA-(2∠ABD-∠AOD)=∠BAD+∠BCA+∠CAB=2∠BAD=360-2∠CBA

又OC'=DB/2=OA'

∠OC'A'=∠OA'C'=(180-(360-2∠CBA))/2=∠CBA-90

(2)DC'垂直于AB,DB'垂直于AC

故D、C'、B'、A四点共圆

∠DB'C'=180-∠DAC'=∠CBA,故∠AB'C'=∠CBA-90=∠OA'C'

∠AB'C'=∠OA'C'

故O、A'、B'、C'四点共圆

不懂的话欢迎追问!

A'在线段BC上的情形如下：