解题思路：（1）把a=1代入函数解析式，求出导函数得到f′（1），再求出f（1）的值，利用直线方程的点斜式得切线方程；
（2）由原函数的导函数在（0，+∞）上大于等于0恒成立得到
a≤x+
1
x
+2
对x∈（0，+∞）上恒成立，然后利用基本不等式求得不等式右边的最小值，则a的范围可求；
（3）利用分析法把要证明的不等式转化为证明
x
1
x
2
−1＜(
x
1
x
2
+1)ln
x
1
x
2
，令
x
1
x
2
＝t (t＞1)
换元后引入辅助函数h（t）=（t+1）lnt-t+1（t＞1），然后利用导数证明．
（1）当a=2时，f（x）=lnx+[2/x+1−1，
f′(x)＝
1
x−
2
(x+1)2] （x＞0），
∴k＝f′(1)＝
1
2．
由f（1）=0，
∴求函数f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为x-2y-1=0；
（2）∵f（x）=lnx+[a/x+1]-[a/2]，
∴f′(x)＝
1
x−
a
(x+1)2＝
(x+1)2−ax
x(x+1)2 (x＞0)．
由题意得（x+1）2-ax≥0对x∈（0，+∞）上恒成立，
∴a≤x+
1
x+2对x∈（0，+∞）上恒成立，
∴a≤(x+
1
x+2)min，
∵x+
1
x+2≥2
x•
1
x+2＝4 （当且仅当x=1时取等号），
∴a≤4；
（3）证明：∵x1＞x2＞0，
∴lnx1-lnx2＞0．
要证
x1−x2
lnx1−lnx2＜x1+x2，
只要证x1-x2＜（x1+x2）（lnx1-lnx2），
即证x1−x2＜(x1+x2)ln
x1
x2，
也就是证
x1
x2−1＜(
x1
x2+1)ln
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性．训练了利用换元法和构造函数法证明不等式，是压轴题．