解题思路：充分运用“r（A）=r（A b）=n时，Ax=b有唯一解”和“r（A）=r（A b）＜n时，Ax=b有无穷多解”，以及““r（A）＜r（A b）时，Ax=b无解”，就可得出答案．
解；
∵线性方程组Ax=b有解⇔r（A）=r（Ab），
并且由题知A是m行n列的矩阵，
①对于选项A．
若r（A）=m，
则A是一个行满秩矩阵，
因此在A的每一行后面添加一个分量，得到矩阵（A b）的m个行向量，并不会改变它的秩，即r（A b）=m，
从而：r（A）=r（A b）=m，
故当r=m时，方程组Ax=b有解，
∴选项A正确．
②对于选项B．
如：A＝
10
01
11，(Ab)＝
100
010
111
，
显然 r（A）=2（未知数个数），但r（A）＜r（A b）=3，此时方程组无解，
∴选项B错误．
③对于选项C．
如：A＝
11
22，(Ab)＝
111
222，
显然r（A）=r（A b）=1＜2，此时Ax=b有无穷多解，
∴选项C错误．
④对于选项D．
如：A＝
11
22，(Ab)＝
111
221，
显然r（A）=1＜r（A b）=2，此时Ax=b无解，
∴选项D错误．
故选：A．
点评：
本题考点： 非齐次线性方程组有非零解的充分必要条件．
考点点评： 此题是考查非齐次线性方程组解的判定定理的运用，熟悉相关定理，就能较快解决此问题．