解题思路：（1）做出所给的函数的定义域，假设这个函数属于集合，则得到方程x02+x0+1=0，因为此方程无实数解，得到不存在x0使得等式成立，所以函数
f(x)＝
1
x
∉M
．
（2）做出函数的定义域R，根据f（x）=kx+b∈M，则存在实数x0，使得k（x0+1）+b=kx0+b+k+b，解得b=0，得到实数k和b的取得范围是k∈R，b=0
（3）根据所给的函数符合集合的条件，写出符合条件的关系式，得到一个关于自变量的一元二次方程，根据有解得到判别式大于0，得到结果．
（1）根据题意得到D=（-∞，0）∪（0，+∞），若f(x)＝
1
x∈M，
则存在非零实数x0，使得[1
x0+1＝
1
x0+1，…（2分）
即x02+x0+1=0，…（3分）
因为此方程无实数解，所以函数f(x)＝
1/x∉M．…（4分）
（2）D=R，由f（x）=kx+b∈M，存在实数x0，使得k（x0+1）+b=kx0+b+k+b，…（6分）
解得b=0，…（7分）
所以，实数k和b的取得范围是k∈R，b=0．…（8分）
（3）由题意，a＞0，D=R．由f(x)＝lg
a
x2+1∈M，存在实数x0，
使得lg
a
(x0+1)2+1＝lg
a
x20+1+lg
a
2]，…（10分）
所以，
a
(x0+1)2+1＝
a2
2(
x20+1)，
化简得（a2-2a）x02+2a2x0+2a2-2a=0，…（12分）
当a=2时，x0＝−
1
2，符合题意．…（13分）
当a＞0且a≠2时，由△≥0得4a4-8（a2-2a）（a2-a）≥0，
化简得a2-6a+4≤0，
解得a∈[3−
5，2)∪(2，3+
5]．…（15分）
综上，实数a的取值范围是[3−
5，3+
点评：
本题考点： 一元二次方程的根的分布与系数的关系；对数的运算性质．
考点点评： 本题考查一元二次方程根与系数的关系，本题解题的关键是根据所给的满足集合的条件写出关于变量的关系式进行求解，本题是一个难题，难点在于理解题意．