Question

已知二次函数f（x）满足f（x+1）+f（x-1）=2x2-4x；

Answer 1

解题思路：（1）利用待定系数法设出f（x）=ax²+bx+c（a≠0），求出f（x+1）+f（x-1）应该是个关于a，b，x的代数式2ax²+2bx+2a+2c，与2x²-4x相同即可求解

（2）由（1）知函数的对称轴方程为x=1，对a结合函数单调性进行分类，当0＜a＜1时，函数f（x）在[0，a]上为单调减函数，故f（x）的最小值为f（a），当a≥1时，函数f（x）过函数的最低点，故最小值为f（1）

（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），则有f（x+1）+f（x-1）=2ax²+2bx+2a+2c=2x²-4x

对任意实数x恒成立

∴

2a＝2

2b＝−4

2a+2c＝0

解之得a=1，b=-2，c=-1

∴f（x）=x²-2x-1

（2）当0＜a＜1时，f（x）的最小值为f（a）=a²-2a-1

当a≥1时，f（x）的最小值为f（1）=-2

点评：

本题考点： 函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评： 本题考查了函数的最值及其几何意义，函数解析式的求解及常用方法，还有分类讨论的思想，属于基础题．