已知函数f(x)=ax+lnx,a∈R,对于曲线上不同两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)

2个回答

  • 当然有高中思路啦

    原问题即转化为:f'(x)=(y2-y1)/(x2-x1)在(x1,x2)上有唯一解

    且f'(x)=a+1/x

    所以即为证明:a+1/x=(y2-y1)/(x2-x1)在(x1,x2)上有唯一解

    将y=ax+lnx带入,则:

    即证a+1/x=a+(lnx2-lnx1)/(x2-x1)在(x1,x2)上有唯一解

    两边消去a,即证:

    1/x=(lnx2-lnx1)/(x2-x1)在(x1,x2)上有唯一解

    注意,x1,x2是两个确定的值,所以上式实际上是关于x的一次函数:

    即证:(lnx2-lnx1)x=x2-x1在(x1,x2)上有唯一解

    又因为:可解得x=(x2-x1)/(lnx2-lnx1)=x0

    所以即证:x0∈(x1,x2)

    即证:(x2-x1)/(lnx2-lnx1)大于x1且小于x2

    先证:(x2-x1)/(lnx2-lnx1)大于x1

    即证:x2-x1大于(lnx2-lnx1)x1

    把x1除过去,换元令t=x2/x1,即证:t-1〉lnt

    其中:因为x2大于x1大于0,所以t大于1

    移项构造函数,求导即可证明t-1-lnt大于0,即t-1〉lnt

    所以:(x2-x1)/(lnx2-lnx1)大于x1

    同理可证:(x2-x1)/(lnx2-lnx1)小于x2

    综上,原命题得证

    没想到明天就高考了的时候,还能帮你解决一个问题呢