Question

在数列{an}中，an+1+an=2n-44（n∈N*，）a1=-23

Answer 1

解题思路：（1）由a_n+1+a_n=2n-44得a_n+2+a_n+1=2（n+1）-44，两式相减得出得a_n+2-a_n=2，奇数项构成等差数列，偶数项构成等差数列且公差为2．求出a₂=1-19

对n分奇偶数写出通项公式．

（2）对n分奇偶数求和，注意分组，根据a_n+1+a_n=2n-44相邻两项结合，逐类求解，再取最小值．

（1）∵a_n+1+a_n=2n-44①∴a_n+2+a_n+1=2（n+1）-44②，②-①得a_n+2-a_n=2，

∴数列{a_n}中，奇数项构成等差数列，偶数项构成等差数列且公差为2．

由已知，a₁+a₂=2-44=-42，a₂=-19

当n是奇数时，a_n=a₁+（[n+1/2−1）×2=n-24．

当n是偶数时，a_n=a₂+（

n

2−1）×2=n-21．

∴a_n=

n−24，n为奇数时

n−21，n为偶数时]

（2）当n是奇数时，

S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-2+a_n-1）+a_n

=2[1+3+…（n-2）]-44×[n−1/2]+（n-24）

=2×

(n−1)•

n−1

2

2-44×[n−1/2]+（n-24）

=[1/2]n²-22n-[3/2]=[1/2]（n-22）²-[487/2]

当n=21或23时取得最小值-243．

当n是偶数时，

S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）

=2[（1+3+…+（n-1）]-[n/2]×44

=2×

n•

n

2

2-22n

=[1/2]（n-22）²-242

当n=22时取得最小值-242．

所以当n=21或23时S_n取得最小值-243．

点评：

本题考点： 数列递推式；数列的求和．

考点点评： 本题考查数列通项公式求解，数列求和．考查构造、分类讨论、计算能力．