Question

已知数列{a n }前n项的和为S n ，且满足 a n = n 2 (n∈ N * ) ．

Answer 1

（Ⅰ）∵a _n=n ²，n∈N ^*

∴s ₁=a ₁=1，s ₂=a ₁+a ₂=1+4=5，s ₃=a ₁+a ₂+a ₃=1+4+9=14．…（6分）

（Ⅱ）证明：（1）当n=1时，左边=s ₁=1，

右边=

1×(1+1)(2+1)

6 =1，

所以等式成立．…（8分）

（2）假设n=k（k∈N ^*）时结论成立，即S _k=

k(k+1)(2k+1)

6 ，…（10分）

那么，S _k+1=S _k+（k+1） ²

=

k(k+1)(2k+1)

6 +（k+1） ²

=

k(k+1)(2k+1)+ 6(k+1) 2

6

=

(k+1)(k+2)(2k+3)

6

=

(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]

6

即n=k+1时，等式也成立．…（13分）

根据（1）（2）可知对任意的正整数n∈N ^*都成立．…（14分）