Question

（2013•陕西）设{an}是公比为q的等比数列．

Answer 1

解题思路：（I）分q=1与q≠1两种情况讨论，当q≠1，0时，利用错位相减法即可得出；

（II）分①当存在n∈N^*，使得a_n+1=0成立时，显然不成立；②当∀n∈N^*（n≥2），使得a_n+1≠0成立时，使用反证法即可证明．

（I）当q=1时，S_n=na₁；

当q≠0，1时，由S_n=a₁+a₂+…+a_n，

得qS_n=a₁q+a₂q+…+a_n-1q+a_nq．

两式错位相减得（1-q）S_n=a₁+（a₂-a₁q）+…+（a_n-a_n-1q）-a_nq，（*）

由等比数列的定义可得

a2

a1＝

a3

a2＝…＝

an

an−1＝q，

∴a₂-a₁q=a₃-a₂q=…=0．

∴（*）化为（1-q）S_n=a₁-a_nq，

∴Sn＝

a1−anq

1−q＝

a1−a1qn

1−q＝

a1(1−qn)

1−q．

∴Sn＝

na1，(q＝1)

a1(1−qn)

1−q，(q≠1)；

（Ⅱ）用反证法：设{a_n}是公比为q≠1的等比数列，数列{a_n+1}是等比数列．

①当存在n∈N^*，使得a_n+1=0成立时，数列{a_n+1}不是等比数列．

②当∀n∈N^*（n≥2），使得a_n+1≠0成立时，则

an+1+1

an+1=

a1qn+1

a1qn−1+1=

a1q+1

a1+1，

化为（q^n-1-1）（q-1）=0，

∵q≠1，∴q-1≠0，q^n-1-1≠0，故矛盾．

综上两种情况：假设不成立，故原结论成立．

点评：

本题考点： 等比数列的前n项和；等比关系的确定．

考点点评： 本题综合考查了等比数列的通项公式、前n项和公式、错位相减法、反证法等基础知识与基本方法，需要较强的推理能力和计算能力．