Question

已知{an}是公比为q的等比数列，且am、am+2、am+1成等差数列．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由已知条件推导出2a₁q^m+1=a₁q^m+a₁q^m-1，由此能求出q的值．

（Ⅱ）若q=1，由a₁≠0，得2S_m+2≠S_m+S_m+1；q=-[1/2]，能推导出2S_m+2=S_m+S_m+1．故当q=1时，S_m，S_m+2，S_m+1不成等差数列；q=-[1/2]时，S_m，S_m+2，S_m+1成等差数列．

（Ⅰ）依题意，得2a_m+2=a_m+1+a_m，

∴2a₁q^m+1=a₁q^m+a₁q^m-1

在等比数列{a_n}中，a₁≠0，q≠0，

∴2q²=q+1，解得q=1或-[1/2]．

（Ⅱ）若q=1，S_m+S_m+1=ma₁+（m+1）a₁=（2m+1）a₁，S_m+2=（m+2）a₁

∵a₁≠0，∴2S_m+2≠S_m+S_m+1

若q=-[1/2]，Sm+2＝

1−(−

1

2)m+2

1−(−

1

2)•a1=[[2/3−

1

6•(−

1

2)m]•a1，

S_m+S_m+1=

1−(−

1

2)m

1−(−

1

2)•a1+

1−(−

1

2)n+1

1−(−

1

2)•a1

={

4

3−

2

3]•[（-[1/2]）^m+（-[1/2]）ⁿ⁺¹}•a₁，

∴2S_m+2=S_m+S_m+1，

∴2S_m+2=S_m+S_m+1，

∴当q=1时，S_m，S_m+2，S_m+1不成等差数列；

q=-[1/2]时，S_m，S_m+2，S_m+1成等差数列．

点评：

本题考点： 等比数列的性质；等差关系的确定；等差数列的性质．

考点点评： 本题考查等比数列的公比的求法，考查等差数列的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．