Question

数列{an}满足：na1+（n-1）a2+…+2an-1+an=（[9/10]）n-1+（[9/10]）n-2+…+[9

Answer 1

解题思路：（1）令n=1，2，3即可求a₁，a₂，a₃的值；

（2）根据a_n=S_n-S_n-1的关系，即可求a_n的通项公式；

（3）求出b_n=-（n+1）a_n，讨论b_n≤b_k，即可得到结论．

（1）当n=1时，a₁=1，

当n=2时，2+a₂=[9/10]+1，则a₂=−

1

10，

当n=3时，3a₁+2a₂+a₁=（[9/10]）²+[9/10]+1，

则a₃=−

9

100．

（2）由na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n=（[9/10]）^n-1+（[9/10]）^n-2+…+[9/10]+1，

得（n-1）a₁+（n-2）a₂+…+2a_n-2+a_n-1=（[9/10]）^n-2+（[9/10]）^n-3+…+[9/10]+1，

两式相减得a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=（[9/10]）^n-1=S_n．

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=−

1

10•(

9

10)n−2，

当n=1时，a₁=1不满足a_n=−

1

10•(

9

10)n−2，

则a_n=

1，n＝1

−

1

10•(

9

10)n−2，n≥2．

（3）∵a_n=

点评：

本题考点： 数列递推式．

考点点评： 本题主要考查数列通项公式的求解，以及数列和不等式的综合应用，根据an=Sn-Sn-1的关系，求an的通项公式是解决本题的关键．