已知x=1是函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一个极值点,其中m,n∈R,m≠0

1个回答

  • 解题思路:(1)求出f′(x),因为x=1是函数的极值点,所以得到f'(1)=0求出m与n的关系式;

    (2)令f′(x)=0求出函数的极值点,讨论函数的增减性确定函数的单调区间;

    (3)构造函数h(x)=)=([1/e]x2gex-[1/3]x3-x2)-([2/3]x3-x2)=x2g(ex-1-x),求导数,分类讨论,确定函数的单调性,即可得到结论.

    (1)f′(x)=3mx2-6(m+1)x+n.

    因为x=1是f(x)的一个极值点,所以f'(1)=0,即3m-6(m+1)+n=0.

    所以n=3m+6;…(3分)

    (2)由(1)知,f′(x)=3mx2-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1)[x-(1+[2/m])]…(5分)

    当m<0时,有1>1+[2/m],当x变化时,f(x)与f'(x)的变化如下表:

    由上表知,当m<0时,f(x)在(-∞,1+[2/m])单调递减,在(1+[2/m],1)单调递增,在(1,+∞)单调递减

    同理可得:当m>0时,f(x)在(-∞,1)单调递增,在(1,1+[2/m])单调递减,在(1+[2/m],+∞)上单调递增.…(9分)

    (3)设函数h(x)=)=([1/e]x2gex-[1/3]x3-x2)-([2/3]x3-x2)=x2g(ex-1-x)

    由x2≥0,且(ex-1-x)′=ex-1-1,故x≥1,(ex-1-x)′=ex-1-1≥0

    令m(x)=ex-1-x,所以m(x)在x≥1为增函数,故m(x)≥m(1)≥0

    所以h(x)在[1,+∞),h(x)≥0,故g(x)≥φ(x)

    当x<1,(ex-1-x)′=ex-1-1<0

    令m(x)=ex-1-x,所以m(x)在x<1为减函数,故m(x)<m(1)<0

    所以h(x)在[1,+∞),h(x)<0,故g(x)<φ(x)

    综上,x≥1时,g(x)≥φ(x),x<1时,g(x)<φ(x) …(14分)

    点评:

    本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的极值.

    考点点评: 本题考查利用导数研究函数极值和单调性的能力,考查构造函数比较大小,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.